今日はひとつだけ、左だけでなく、右の見方も習得しておこう

この問題はlog（1＋x）のマクローリン展開やそれをイメージした整関数を持ってはさみうちの不等式を作ることで積の形を和の形にして問題を扱いやすくすることが目標になっている。

相加相乗平均の証明を微分を用いて3通りで証明しておく。 この3通りの発想がなぜ出てくるのか。そこを言葉の形にしないといけないのだが、正直まだできていない。 一つ目の補題では、n個の積が1である場合にn個の相加平均が1（積の数）より多いことを証明し…

1行目に書いてある不等式は数学的帰納法を用いて証明することができる。この不等式を用いていけば一般的な場合に関しても証明することができる。そして、関数を比較できる形に整えてはさみうちは鉄板の流れですね。

前半は漸化式の有効性を感じられるとても面白い題材である。 そして結果としてネピア数が現れるのがこの題材の2重で面白いところである。

この不等式をみると定数分離は多くの生徒が思い浮かべることができる。しかし、変数が2つあるところがこの問題を難しくする要因である。 変数と次数は減らせるなら減らしたいのが数学の発想である。そこで同次式を利用した解法が出てくると良い。

対数関数の利用する際によく話題に上がる問題である。この問題も調べてみると色々な分野との関わりが深い様子である。 まず最初は、対数と指数の関係を用いた2つの解法である。個人的には対数より指数の方が扱いやすいため、変形は素直に出てくる。 二つ目は…

根号が混じった極限を求める問題では、有利化が定石であるが、常に行う必要があるのかという問題提起である。 根号の近似についても理解をしておくと検算が楽である。

ネピア数の証明をまずまとめておこう。実数より自然数が扱いやすいため、自然数の形では不等式を作っていく。この扱いやすい数に変えていく発想は重要である。ここでは自然数の場合の極限値を既知として扱っている。 下の画像ではテイラー展開に近い式の形を…

根号の中に負の数が現れた時は根号を外す際に注意が必要であることを意識することができる問題である。 重要な部分は数学Ⅰの絶対値と根号の関係である。が、文字によって符号が意識しにくいところにこの問題の難しさがあるように思う。 下のような極限が収束…

自然数の逆数の和は正の無限大に発散することが知られている。1/2が無限個作ることができることが証明の肝である。結局ははさみうち、極限は兎にも角にもはさみうちである。 では次のような極限はどうなるのかを考えよう。 最初の不等式が与えられると成り立…

自然数の2乗の逆数の和について考察する。n＋1から2nまでの和は0に収束する。個人的にはこの事実が中々受け入れ難い。 証明としては、はさみうちの原理とグラフを考えて部分分数分解どちらも綺麗な解法だと思う。 グラフの形からシグマの和を挟む解き方は色…

漸化式が与えられた数列がどこに収束するかをグラフから予想する解法である。結局、特性方程式の解が極限値になるため、極限値を得るだけなら非常に簡単な問題である。しかし、実際に示していく過程でははさみうちの原理を用いて証明していくため、最初は難…

2つの極限の速度を比較する問題である。2つの問題の証明方法が違う理由を考えてみると面白いかもしれません。 指数関数は二項定理から整関数の形に変形し比較することができることが証明の基本線である。しかし、2＾n/n！では分子分母の積の数が等しいため、…

昨日の内容の応用として次の問題を考えてみる。2つの指数関数がある場合は底が小さいものが無視できるというものである。 指数関数の極限では底を1より小さくすることが定石としてあげられるため、第一解法は自然な解法のように思う。 第2解法では、対数を取…

昨日に引き続き、指数関数の極限です。指数関数は二項定理と挟み撃ちの原理を用いて証明することができますね。 指数部分が0に近づくので底の0乗より1に収束することは数の形からは当たり前になりそうですが、証明はやはりマスターしておきたいですね。

1.01のn乗は生徒に収束するか、発散するか尋ねると発散するイメージがもてていないことがよくわかる。 1.01の100乗が約2.7になるので、2.7のn乗と同じように見ることができれば発散は当たり前になっていく。 二項定理を用いた証明はnが自然数の場合にしか言…

まずは以下の問題を解いて見てほしい。 対称性を意識しないと解法1や接線から重解をイメージした解法2が出てくるのではないか。解法の2は3次方程式のときには計算量がグッと減るのでマスターしておきたい。 しかしこの問題答えを出すだけであれば、3次関数の…

積分計算の図形的な見方を見てみよう。今日扱うのは基本的なものである。今後より応用的なものも考えていきたい。 ルートが出てくると、円が見えてくる場合もありますね。

二次関数と直線が囲む面積が最小になる条件を考える問題である。 解1にも抑えて欲しいポイントがあるので意識させたい。 そして第二解法であるが、通る点のx座標における接線と並行な直線と作る面積が最小になる。 簡単な理由としては、通る点のx座標x＝αが…

１/6公式の証明は教科書では積分計算で証明をしている。この証明を2次関数の平行移動と絡めるだけでも、知識が広がるため、第二解法までは多くの生徒と共通認識に持っていきたい。 この説明はかなり感覚的であるが直感的にもわかりやすいので、マスターして…

一般的な三点を通る放物線についてイメージを重視した解法をまとめておく。 なかなか自分の中でも言語化できたいないため、もう少し自分の中でも今後まとめていきたい。 感覚的には、二点を通る直線を放物線から引くと、交点α，βをx軸で交点を持つ放物線に変…

三次関数が極値を持つ条件を考察してみよう。 解1は脳内では増減表をイメージすることによって、aの範囲を絞り込む解法で単元を学習している生徒からすると自然な解法である。 解2は極値がその周辺での最大値であるという事実を意識した解法であると言えそう…

一般的な場合には、共通接線の接点が一致する条件を考えることが汎用性がある。 しかし、高次方程式の場合は剰余の定理を絡めて重解を持つ条件として考察を深めることができる。

nが整数の場合の微分公式を2通りの証明を紹介する。 ただ、二項定理はこの手の証明では大活躍なので、やはり二項定理を紹介したい問題である。

二次関数と三次関数の共通接線についての問題である。 一般的な関数に関しては第一解法の解法が汎用性がある。 しかし、二次関数がの接線は判別式D＝0が満たされれば良いため、第二解法も考えることができる。

よく知られている見方であろう。この見方はいろいろなところで役に立つ

対数関数の方程式や不等式を考えるとき、真数条件を考える必要がある。 しかし、方程式に関しては考える範囲を狭めることができる。是非理解してみたい。

ただ問題を解くだけであるならば、解1の議論をすることで、円上をくまなく動くことが示せる。解2ではそこに踏み込むことができない。 この問題は結局座標変換が肝になっている。円が出てくる理由は2つのベクトルが垂直で長さが等しいからであろうか。

三角関数の合成が解法として、紹介される事が多い問題であるが、内積の見方も理解しておきたいですね。