極限6 バーゼル問題とその周辺

自然数の2乗の逆数の和について考察する。n＋1から2nまでの和は0に収束する。個人的にはこの事実が中々受け入れ難い。

証明としては、はさみうちの原理とグラフを考えて部分分数分解どちらも綺麗な解法だと思う。

グラフの形からシグマの和を挟む解き方は色々なところで活躍するため、色々な問題で考えてみると幅が広がる。

実際のバーゼル問題が収束することを既知とすると以下のように極限値を予想することができていく。

では、実際のバーゼル問題を考えてみよう。sin＠＜＠＜tan＠の比較はよく使うため自然に出てくるように思う。

あとは自然数の2乗の逆数の和の問題で三角関数を考える発想に自然な解法を見出せるかが一つ重要である。