今日はひとつだけ、左だけでなく、右の見方も習得しておこう

根号が混じった極限を求める問題では、有利化が定石であるが、常に行う必要があるのかという問題提起である。 根号の近似についても理解をしておくと検算が楽である。

ネピア数の証明をまずまとめておこう。実数より自然数が扱いやすいため、自然数の形では不等式を作っていく。この扱いやすい数に変えていく発想は重要である。ここでは自然数の場合の極限値を既知として扱っている。 下の画像ではテイラー展開に近い式の形を…

根号の中に負の数が現れた時は根号を外す際に注意が必要であることを意識することができる問題である。 重要な部分は数学Ⅰの絶対値と根号の関係である。が、文字によって符号が意識しにくいところにこの問題の難しさがあるように思う。 下のような極限が収束…

自然数の逆数の和は正の無限大に発散することが知られている。1/2が無限個作ることができることが証明の肝である。結局ははさみうち、極限は兎にも角にもはさみうちである。 では次のような極限はどうなるのかを考えよう。 最初の不等式が与えられると成り立…

自然数の2乗の逆数の和について考察する。n＋1から2nまでの和は0に収束する。個人的にはこの事実が中々受け入れ難い。 証明としては、はさみうちの原理とグラフを考えて部分分数分解どちらも綺麗な解法だと思う。 グラフの形からシグマの和を挟む解き方は色…

漸化式が与えられた数列がどこに収束するかをグラフから予想する解法である。結局、特性方程式の解が極限値になるため、極限値を得るだけなら非常に簡単な問題である。しかし、実際に示していく過程でははさみうちの原理を用いて証明していくため、最初は難…

2つの極限の速度を比較する問題である。2つの問題の証明方法が違う理由を考えてみると面白いかもしれません。 指数関数は二項定理から整関数の形に変形し比較することができることが証明の基本線である。しかし、2＾n/n！では分子分母の積の数が等しいため、…

昨日の内容の応用として次の問題を考えてみる。2つの指数関数がある場合は底が小さいものが無視できるというものである。 指数関数の極限では底を1より小さくすることが定石としてあげられるため、第一解法は自然な解法のように思う。 第2解法では、対数を取…

昨日に引き続き、指数関数の極限です。指数関数は二項定理と挟み撃ちの原理を用いて証明することができますね。 指数部分が0に近づくので底の0乗より1に収束することは数の形からは当たり前になりそうですが、証明はやはりマスターしておきたいですね。

1.01のn乗は生徒に収束するか、発散するか尋ねると発散するイメージがもてていないことがよくわかる。 1.01の100乗が約2.7になるので、2.7のn乗と同じように見ることができれば発散は当たり前になっていく。 二項定理を用いた証明はnが自然数の場合にしか言…