極限9 ネピア数周辺

ネピア数の証明をまずまとめておこう。実数より自然数が扱いやすいため、自然数の形では不等式を作っていく。この扱いやすい数に変えていく発想は重要である。ここでは自然数の場合の極限値を既知として扱っている。

下の画像ではテイラー展開に近い式の形を証明し、やや複雑な極限値を求めている。以前示したように、指数関数の発散は整関数より早いという事実が明らかになる。

対数関数と整関数を比較すると整関数のほうが早い。その事実を証明するために対数関数を指数関数の形に定義より変形すると計算がしやすい。対数より指数の形の方が行いやすいことは鉄則である。