まずは以下の問題を解いて見てほしい。 対称性を意識しないと解法1や接線から重解をイメージした解法2が出てくるのではないか。解法の2は3次方程式のときには計算量がグッと減るのでマスターしておきたい。 しかしこの問題答えを出すだけであれば、3次関数の…

積分計算の図形的な見方を見てみよう。今日扱うのは基本的なものである。今後より応用的なものも考えていきたい。 ルートが出てくると、円が見えてくる場合もありますね。

二次関数と直線が囲む面積が最小になる条件を考える問題である。 解1にも抑えて欲しいポイントがあるので意識させたい。 そして第二解法であるが、通る点のx座標における接線と並行な直線と作る面積が最小になる。 簡単な理由としては、通る点のx座標x＝αが…

１/6公式の証明は教科書では積分計算で証明をしている。この証明を2次関数の平行移動と絡めるだけでも、知識が広がるため、第二解法までは多くの生徒と共通認識に持っていきたい。 この説明はかなり感覚的であるが直感的にもわかりやすいので、マスターして…

一般的な三点を通る放物線についてイメージを重視した解法をまとめておく。 なかなか自分の中でも言語化できたいないため、もう少し自分の中でも今後まとめていきたい。 感覚的には、二点を通る直線を放物線から引くと、交点α，βをx軸で交点を持つ放物線に変…

三次関数が極値を持つ条件を考察してみよう。 解1は脳内では増減表をイメージすることによって、aの範囲を絞り込む解法で単元を学習している生徒からすると自然な解法である。 解2は極値がその周辺での最大値であるという事実を意識した解法であると言えそう…

一般的な場合には、共通接線の接点が一致する条件を考えることが汎用性がある。 しかし、高次方程式の場合は剰余の定理を絡めて重解を持つ条件として考察を深めることができる。

nが整数の場合の微分公式を2通りの証明を紹介する。 ただ、二項定理はこの手の証明では大活躍なので、やはり二項定理を紹介したい問題である。

二次関数と三次関数の共通接線についての問題である。 一般的な関数に関しては第一解法の解法が汎用性がある。 しかし、二次関数がの接線は判別式D＝0が満たされれば良いため、第二解法も考えることができる。

よく知られている見方であろう。この見方はいろいろなところで役に立つ

対数関数の方程式や不等式を考えるとき、真数条件を考える必要がある。 しかし、方程式に関しては考える範囲を狭めることができる。是非理解してみたい。

ただ問題を解くだけであるならば、解1の議論をすることで、円上をくまなく動くことが示せる。解2ではそこに踏み込むことができない。 この問題は結局座標変換が肝になっている。円が出てくる理由は2つのベクトルが垂直で長さが等しいからであろうか。

三角関数の合成が解法として、紹介される事が多い問題であるが、内積の見方も理解しておきたいですね。

2つの解放の例題をのせておきます。 解2は定数がある場合に、すぐにイメージができるように特訓しておきたい。

加法定理は鋭角の場合は証明が図形的な考察ができ、なおかつ三角比の定義の利用ができるため、良い復習問題になる。しかし、一般の場合まで考えを広げると、余弦定理のものが一般的である。 余弦定理が出てくるため、トレミーが絡んでくるのも面白い。ですね…