一般的な場合には、共通接線の接点が一致する条件を考えることが汎用性がある。 しかし、高次方程式の場合は剰余の定理を絡めて重解を持つ条件として考察を深めることができる。

nが整数の場合の微分公式を2通りの証明を紹介する。 ただ、二項定理はこの手の証明では大活躍なので、やはり二項定理を紹介したい問題である。

二次関数と三次関数の共通接線についての問題である。 一般的な関数に関しては第一解法の解法が汎用性がある。 しかし、二次関数がの接線は判別式D＝0が満たされれば良いため、第二解法も考えることができる。

よく知られている見方であろう。この見方はいろいろなところで役に立つ

対数関数の方程式や不等式を考えるとき、真数条件を考える必要がある。 しかし、方程式に関しては考える範囲を狭めることができる。是非理解してみたい。

ただ問題を解くだけであるならば、解1の議論をすることで、円上をくまなく動くことが示せる。解2ではそこに踏み込むことができない。 この問題は結局座標変換が肝になっている。円が出てくる理由は2つのベクトルが垂直で長さが等しいからであろうか。

三角関数の合成が解法として、紹介される事が多い問題であるが、内積の見方も理解しておきたいですね。

2つの解放の例題をのせておきます。 解2は定数がある場合に、すぐにイメージができるように特訓しておきたい。

加法定理は鋭角の場合は証明が図形的な考察ができ、なおかつ三角比の定義の利用ができるため、良い復習問題になる。しかし、一般の場合まで考えを広げると、余弦定理のものが一般的である。 余弦定理が出てくるため、トレミーが絡んでくるのも面白い。ですね…

有名な話題であるが、自分でもここにまとめておく。 この話の肝は、本当に全ての値を取るのかを疑問に持てるか。またそれを表現できるかである。 グラフでも良いので、きちんと解に残したい。

解1は教科書に書かれている解法である。直線が接するときに点と直線の距離の公式で考えていたのに、この問題ではその解法は常に使えるわけでは無い。高校生は判別式や解法2が思い浮かぶ生徒が多い。 いわゆる外部から接線を引く問題は「接点より始めよ」とい…

円が出てくるので三角関数や垂直なのでベクトルが相性がいいのか。結局点と直線の距離の公式の証明方法だけ解法がある。 解法④は自信が無いです。これは正しいのか。。。

数学Ⅱまでの内容で解くと距離で等式を作る解法が出てくるのであろうか。 複素数平面を学習すると、回転をうまく使った解法を考えることができる。

円の接線の問題について考えてみました。接するという言葉で判別式に飛びつくとかなりめんどくさい印象。やはり円の接線は直角という性質をうまく使うところがポイントに感じますね。解法3のベクトルの利用が一般の場合の証明まで含めると見通しがいいですね…

この問題は微分の内容を習得したタイミングで解くと、正答率が非常に低くなる印象がある問題である。2次の場合までは判別式が有効であることをきちんと認識させたい。 下の解法は接点を通る直線を二次関数から引くと、外側の点が頂点の真下にくる性質を用い…

直線の平行移動の基本的な問題について考えてみた。このタイプの問題は垂直に交わる直線とセットで求めることが多いためか、教科書的な解法の便利さが際立ってしまう。しかし、平行移動という観点で問題を眺めると色々な解法が出てくるだろう。 個人的には上…

点と直線の距離の問題をひたすら解いてみた。 最後に出したコーシーシュワルツは証明まで一般化していけるので好きな解法。

教科書にあるような線対象な点を求める問題です。線対称とは点と線の距離が等しく、二点とその線分が垂直に交わることが条件になります。 そのため、垂直二等分線の問題とアプローチの方法は変わりません。ただ、多くの生徒はこの中点を使う発想がなかなかで…

図形と方程式はベクトルなどを学習してからやると強くてニューゲームができる単元だと思っている。基本的な問題の基本的で多様な解法を可能な限りまとめておきたい。 解2は中点や傾きなどを求めずに解答できるため、楽ですね。高校生から見ると、展開力が無…

虚数には大小関係がないことについて、教科書でその理由まで記述があることは珍しい。そのため生徒に質問された場合に困らないように準備しておこう。こういう時背理法は便利です。

今日は一つの問題に2つの解法をつけてみようと思う。 上の解き方で見たように相加平均・相乗平均を使おうと思うとすぐにはうまくいかない。そのため、文字を消すように係数で調整をする必要がある。 例えば以下のように相加平均・相乗平均の関係を使うとうま…

今日はこの問題に対して3つ解法を出してみる。 この問題はこの他にも色々な解法が作れると思うので、授業とかでも遊べそうな内容である。 解法1は不等式の証明の単元を扱っているタイミングでは第一解法になるのか？ 解2解3は気付ければ早くてわりと正確に解…

コーシーシュワルツの不等式の証明。二次バージョンである。 式変形でも証明はできるし、ベクトルの内積とも絡めることができる証明である。 そして一般化するとき、とてもエレガントな解法が出現する。私はお手上げである。とても自分にはこの発想は出てこ…

相加平均・相乗平均の話題でよく話題になる問題である。展開してやれば良いという表面的な理解に終わらず等号成立の重要性をきちんと伝えたい。そうすることで、最大値や最小値の問題にも対応できるようになっていく。 相加平均相乗平均の3文字の証明は自分…

この問題の青で書いた質問に答えるのはなかなか難しい。「代入していいのは分かったけどダメなんじゃないの」という空気がどうしても残ってしまう。 整式なんだから一致の定理がホゲホゲというような、わかるようなわからないような説明になってしまう。 ホ…

この分野は自然に考えるときにどちらの解法が出てきてもおかしくはないと思う。しかし、遠回りでもこの2通りの解法を確認し青の方が有益であるところを確認したい。 下の問題の形になると、上の遠回りした解法が活躍する。2つの問題をセットで考えることで2…

今日の内容は生徒には個人的には話さないことが多いかなと思う内容である。 剰余の定理にある程度慣れてくると座標平面を意識すると、余りの式が頭に浮かんでくるので個人的にはよく使っている。個人の座標平面と関数式の能力に依存する所ではあるがマーク系…

今日の内容はしょうもないですが、今までの内容とのつながりで2通りの解法が導ける。つまり、剰余の定理は恒等式の性質とのつながりが見えることは少々面白いところなのか。 個人的にはωがせっかく出てくるのでここらへんを絡めた解法ができると一気に面白く…

一次の式の積の形に因数分解できるように定数決定する問題である。 恒等式を利用するのが一般的な問題である。 この問題で解と係数が出てくることを見抜けるような生徒を育てたい。 一方で解の公式を用いて根号が消える条件を探すこともできる。こちらは文字…

教科書の例題より一題。定数で基準を作り解いていく解法が教科書には載っているため、生徒によってはkと置かないと解くことができないと感じてしまう生徒が多いように感じる。 素朴な考えもきちんと生徒に理解させた上でより複雑な問題でこの解法が活躍する…