極限10 分数関数の極限 2つの式変形

今日はひとつだけ、左だけでなく、右の見方も習得しておこう

微分6 対数関数のマクローリン展開の利用

この問題はlog（1＋x）のマクローリン展開やそれをイメージした整関数を持ってはさみうちの不等式を作ることで積の形を和の形にして問題を扱いやすくすることが目標になっている。

微分5 相加相乗平均の証明

相加相乗平均の証明を微分を用いて3通りで証明しておく。

この3通りの発想がなぜ出てくるのか。そこを言葉の形にしないといけないのだが、正直まだできていない。

一つ目の補題では、n個の積が1である場合にn個の相加平均が1（積の数）より多いことを証明している。

この補題の形が最後の形をイメージして出てくるかであろう。

2つ目の解法は最後の形をイメージして元の関数を作成することが肝である。

3つ目はお手上げである。

微分4 発散のスピードとマクローリン展開

1行目に書いてある不等式は数学的帰納法を用いて証明することができる。この不等式を用いていけば一般的な場合に関しても証明することができる。そして、関数を比較できる形に整えてはさみうちは鉄板の流れですね。

微分3 撹乱順列をネピア数

前半は漸化式の有効性を感じられるとても面白い題材である。

そして結果としてネピア数が現れるのがこの題材の2重で面白いところである。

微分2 同次式の利用

この不等式をみると定数分離は多くの生徒が思い浮かべることができる。しかし、変数が2つあるところがこの問題を難しくする要因である。

変数と次数は減らせるなら減らしたいのが数学の発想である。そこで同次式を利用した解法が出てくると良い。

微分1 対数微分法の利用

対数関数の利用する際によく話題に上がる問題である。この問題も調べてみると色々な分野との関わりが深い様子である。

まず最初は、対数と指数の関係を用いた2つの解法である。個人的には対数より指数の方が扱いやすいため、変形は素直に出てくる。

二つ目は偏微分との関わりである。

おまけとして、指数が実数の場合の微分であるが、二項定理では証明できなかったが対数微分を使うと証明することができる。